כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\Roman{page}הקדמה - אורך, זווית והמכפלה הסקלרית
הקדמה - אורך, זווית והמכפלה הסקלרית\Roman{page}
אלגברה ליניארית (2) -80135
מרצה: איתמר צביק
מתרגלים: גיל לבנה ויואב כהן
סוכם ע"י: שריה אנסבכר
סמסטר א' תשפ"ג, האונ' העברית
סיכומי קורס זה מוקדשים לאהרון כהן; אהרון, הידיעה שתקרא את הסיכומים הללו דרבנה אותי לאורך כל הדרך. בהצלחה!
\[
***
\]
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
כפי שהזכרתי בהקדמה שלי לאלגברה ליניארית האובייקט שנותן את המוטיבציה לשני הקורסים הללו הוא המרחב התלת-ממדי הלא הוא \(\MKreal^{3}\), אך למרות זאת כמתמטיקאים היינו מוכרחים להפשיט את המושג עד שקיבלנו את המרחב הווקטורי מעל לשדה כלשהו. עד כה כל מה שעשינו הוא לנתח כיצד פועלות העתקות ליניאריות על מרחבים וקטוריים אך בכך לא סיימנו להבין את המרחב התלת-ממדי, חסרים לנו שני מרכיבים חשובים מאד במבנה שלו: במרחב התלת-ממדי ניתן למדוד מרחקים בין נקודות וזוויות בין ישרים1לא התייחסתי לגדלים של קטעים מפני שגודל של קטע הוא פשוט המרחק בין שני קצותיו.. תהא \(\left(x,y,z\right)\in\MKreal^{3}\) נקודה במרחב התלת-ממדי, ממשפט פיתגורס נובע שהמרחק של הנקודה \(\left(x,y,0\right)\) מראשית הצירים הוא \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ולכן מהפעלה נוספת של משפט פיתגורס נובע שהמרחק של הנקודה \(\left(x,y,z\right)\) מראשית הצירים הוא:\[
\sqrt{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}+z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\]שכן ראשית הצירים, \(\left(x,y,0\right)\) ו-\(\left(x,y,z\right)\) הן קודקודים של משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הצלע המחברת את \(\left(x,y,z\right)\) לראשית הצירים.
\(\clubsuit\)
ניתן להוכיח באינדוקציה שהמרחק של הנקודה \(\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\in\MKreal^{n}\) מראשית הצירים הוא \(\begin{alignedat}{1}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)^{2}}\end{alignedat}
\)2המשמעות של מרחק ב-\(\MKreal^{n}\) היא בדיוק אותה משמעות שיש למרחק ב-\(\MKreal^{3}\), אנחנו אולי לא יודעים אם קיימים במציאות מרחבים ממימד גבוה מ-\(3\) אך לו היו כאלה הם היו מתנהגים באותה צורה ולכן אנחנו יכולים להפעיל את משפט פיתגורס בכל מישור שבמרחב וע"י אינדוקציה להגיע לתוצאה זו..
\(\clubsuit\)
טבעי מאוד להגדיר את \(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) בתור האורך של הווקטור \(\begin{bmatrix}x\\
y\\
z
\end{bmatrix}\) וכך אכן נעשה.
\(\clubsuit\)
ושוב: ניתן להוכיח באינדוקציה שגם ב-\(\MKreal^{n}\) המרחק בין שתי נקודות הוא הגודל של וקטור ההפרש שלהן.
בצורה דומה לחישוב המרחק בין נקודה לראשית הצירים ניתן להראות שהמרחק בין שתי נקודות \(\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)\) ו-\(\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\) הוא:\[
\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}
\]כלומר המרחק בין שתי נקודות הוא הגודל של וקטור ההפרש שלהן.
\(\:\)
2 זווית
יופי, היה לנו מזל: משפט פיתגורס נחלץ לעזרתנו והצלחנו למצוא את האורך הגאומטרי של וקטור ע"י הייצוג האלגברי שלו, אבל איך בכלל אפשר למצוא את הזווית בין שני וקטורים בהתבסס על הייצוג האלגברי שלהם???
\(\:\)
3 המכפלה הסקלרית
יהיו \(\vec{a},\vec{b}\in\MKreal^{n}\), ממשפט הקוסינוסים (שהוא הכללה של משפט פיתגורס) נובע שמתקיים:\[
\left\Vert \vec{a}-\vec{b}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-2\cdot\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta
\]כאשר \(\theta\) היא הזווית שבין \(a\) ל-\(b\)3זה לא משנה באיזו זווית בוחרים מפני ש-\(\cos\left(2\pi-\theta\right)=\cos\left(-\theta\right)=\cos\left(\theta\right)\). ו-\(\left\Vert v\right\Vert \) הוא האורך של וקטור \(v\in\MKreal^{n}\).
יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{3}\in\MKreal\) כך ש-\(\vec{a}=\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) ו-\(\vec{b}=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{3}\right)\), א"כ מתקיים:\[\begin{align*}
\left\Vert \vec{a}\right\Vert & =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\right)^{2}}\\
\left\Vert \vec{b}\right\Vert & =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}\right)^{2}}\\
\left\Vert \vec{a}-\vec{b}\right\Vert & =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)^{2}}
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)^{2} & =\left\Vert \vec{a}-\vec{b}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-2\cdot\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta\\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\right)^{2}+\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}\right)^{2}-2\cdot\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\left({\color{red}\left(a_{i}\right)^{2}}-2\cdot a_{i}\cdot b_{i}+{\color{blue}\left(b_{i}\right)^{2}}\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left({\color{red}\left(a_{i}\right)^{2}}+{\color{blue}\left(b_{i}\right)^{2}}\right)-2\cdot\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta\\
\Rightarrow-2\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i} & =-2\cdot\left\Vert {\color{red}\vec{a}}\right\Vert \cdot\left\Vert {\color{blue}\vec{b}}\right\Vert \cdot\cos\theta\\
\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i} & =\left\Vert {\color{red}\vec{a}}\right\Vert \cdot\left\Vert {\color{blue}\vec{b}}\right\Vert \cdot\cos\theta
\end{align*}\]\({\color{blue}\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta}\) הוא גודל הרכיב של \({\color{blue}\vec{b}}\) בכיוון \({\color{red}\vec{a}}\) ו-\({\color{red}\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\cos\theta}\) הוא גודל הרכיב של \({\color{red}\vec{a}}\) בכיוון \({\color{blue}\vec{b}}\) כפי שמומחש באיור הבא:
ניתן להסתכל על המכפלה הסקלרית גם כך: \(x\cdot y=x^{t}y\) כאשר הכפל באגף ימין הוא כפל מטריצות ואנו משתמשים באיזומורפיזם בין \(M_{1}\left(\MKreal\right)\) ל-\(\MKreal\); כלומר כל וקטור ב-\(\MKreal^{n}\) מייצג העתקה ליניארית מ-\(\MKreal^{n}\) ל-\(\MKreal\)4העתקה כזו נקראת פונקציונל. באמצעות המכפלה הסקלרית. האינטואיציה הגאומטרית לכך היא שכל העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(\MKrank T=1\) עובדת תמיד באותה צורה: היא מטילה את הווקטורים על ישר כלשהו ואז מותחת/מכווצת אותם ע"י כפל בסקלר, כפי שראינו לעיל זה בדיוק מה שעושה המכפלה הסקלרית אלא שבניגוד להעתקה מ-\(\MKreal^{n}\) ל-\(\MKreal^{n}\) המכפלה הסקלרית מחזירה סקלר שהוא הגודל של הווקטור לאחר ההטלה והמתיחה/כיווץ. הנה סרטון נפלא של3blue1brownשמטיב להסביר את האינטואיציה הזו ואת הקשר שבין ההגדרה האלגברית של המכפלה הסקלרית למשמעותה הגאומטרית.
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שלכל \(x\in\MKreal^{n}\) מתקיים:\[
x\cdot x=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}\right)^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}
\]ולכן \(\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x\cdot x}\).
\(\clubsuit\)
כמו כן לכל \(0\neq v,w\in\MKreal^{n}\) מתקיים:\[
\theta=\arccos\left(\frac{v\cdot w}{\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert }\right)
\]כאשר \(\theta\) היא הזווית הקטנה שבין \(v\) ל-\(w\), בפרט מתקיים \(\theta=\frac{\pi}{2}\) (כלומר \(v\) ו-\(w\)מאונכים זה לזה) אם"ם \(v\cdot w=0\).
\(\clubsuit\)
אם נזכור שכל הסיפור הזה התחיל ממשפט פיתגורס נבין מהי הסיבה לכך שהמכפלה הסקלרית מגדירה אורכים וזוויות יחדיו.
\(\clubsuit\)
הבחירה להגדיר את המכפלה הסקלרית בצורה \(\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta\) נראית קצת מוזרה במבט ראשון, אני הייתי רוצה לדבר על הטלה של וקטור אחד בכיוון של וקטור שני מבלי להתייחס לאורכו של הווקטור השני - כלומר הייתי רוצה לדבר על \(\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\cos\theta\) שהיא ההטלה של \(\vec{b}\) בכיוון של \(\vec{a}\); לעיל הבאנו סיבה אחת שמתקבלת על הדעת וכאן אני רוצה להביא אחת נוספת: המכפלה הסקלרית בודקת עד כמה שני וקטורים מצביעים לאותו כיוון ועד כמה "חזק" הם מצביעים לכיוון זה. אבל הנימוק הזה עדיין לא מספיק - מה שאמרתי כאן הוא שאני מבצע מן "ממוצע משוקלל" שבו אני משקלל את ההבדל בכיוון של שני הווקטורים (הזווית שביניהם) עם הגודל של שניהם, זה אמנם הגיוני לתת לשני הווקטורים את אותו המשקל אך מדוע בחרתי לשקלל את הזווית והאורכים דווקא בצורה זו?למי שמתקשה לחשוב על דרך נוספת לבצע את השקלול הזה הנה פונקציה נוספת שיכולה להחליף את \(\cos\) במכפלה הסקלרית5כלומר \(f\) היא בעצם חיקוי ליניארי של \(\cos\) (על הקטע \(\left[0,2\pi\right]\)) - היא מקבלת את הערכים \(1,0,-1\) בדיוק במקומות שבהם \(\cos\) מקבלת אותם (ובפרט \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)) אך בין הנקודות הללו היא מותחת קו ישר במקום העיקול ש-\(\cos\) עושה.:\[
f\left(\theta\right):=\begin{cases}
1-\frac{2\theta}{\pi} & \theta\in\left[0,\pi\right]\\
-1+\frac{2\theta}{\pi} & \theta\in\left[\pi,2\pi\right]
\end{cases}
\]ובכן חברים, המתמטיקה לא נולדה מהחלל הריק, לא ירדה כתורה למשה מסיני ולא ניתנה לנו מגזע חייזרים תבוני עלום - המתמטיקה תמיד נוצרה ותמיד תיווצר מתוך צרכים מהשטח ובפרט צרכים פיזיקליים; הסיבה האמיתית להגדרה של המכפלה הסקלרית היא הפיזיקה: אם אני מפעיל על גוף \(\boldsymbol{A}\)כוח קבוע \(\boldsymbol{{\color{orange}\vec{F}}}\) ובכך מזיז אותו מנקודה \(P\) לנקודה \(Q\), אז העבודה שביצעתי היא המכפלה הסקלרית \(\boldsymbol{{\color{orange}\vec{F}}\cdot{\color{green}\overrightarrow{PQ}}}\) (כאשר \(\boldsymbol{{\color{green}\overrightarrow{PQ}}}\) הוא וקטור ההעתק מ-\(P\) ל-\(Q\)). שימו לב - חלק מהכוח שהפעלתי לא תרם לכך שהגוף זז מפני שהוא מאונך לכיוון התנועה של הגוף \(\boldsymbol{A}\) (ראו באיור)6ולמעשה בוטל מפני שהרצפה דחפה את הגוף \(\boldsymbol{A}\) בחזרה (החוק השלישי של ניוטון)., כלומר המכפלה הסקלרית בדקה עד כמה "הצלחתי" להזיז את הגוף בכיוון הרצוי ע"י הכוח7למיטב ידיעתי (ואני לא יודע הרבה פיזיקה, אשמח אם אחד הקוראים יעיר את עיני בנושא) ניתן לתאר את כל השימושים של המכפלה הסקלרית בפיזיקה באופן אינטואיטיבי בצורה זו: אני מנסה לשנות את המציאות ע"י אובייקט פיזיקלי הניתן לייצוג ע"י וקטור ובודק עד כמה הצלחתי כאשר השינוי במציאות ניתן גם הוא לייצוג וקטורי. ועשתה זאת ע"י הטלת וקטור הכוח בכיוון של וקטור ההעתק וכפל באורכו של וקטור ההעתק8מבחינה פיזיקלית התפקידים של שני הווקטורים בסיפור הזה שונים לחלוטין אך מבחינת החישוב המתמטי אין ביניהם כל הבדל ולכן במתמטיקה בכלל לא מדברים בצורה זו..
איור 2: העבודה היא המכפלה הסקלרית של וקטור הכוח בווקטור ההעתק
אני מקווה שגם מי שלא למד פיזיקה בתיכון קיבל רושם טוב ממה שהולך כאן, לא הייתה לי שום דרך להסביר זאת מבלי לערב מושגים פיזיקליים ולא במקרה...
א"כ \({\color{red}\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\cdot{\color{blue}\left\Vert \vec{b}\right\Vert }\cdot\cos\theta\) הוא גודל הרכיב של \({\color{blue}\vec{b}}\) בכיוון \({\color{red}\vec{a}}\) כשהוא מוכפל בגודל של \({\color{red}\left\Vert \vec{a}\right\Vert }\) וכמו כן זהו גם גודל הרכיב של \({\color{red}\vec{a}}\) בכיוון \({\color{blue}\vec{b}}\) כשהוא מוכפל בגודל של \({\color{blue}\left\Vert \vec{b}\right\Vert }\). המשוואה הנ"ל נותנת את המוטיבציה להגדרת המכפלה הסקלרית:
המכפלה הסקלרית9באנגלית נקראת גם "Dot Product". היא פעולה \(\cdot:\MKreal^{n}\times\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(x,y\in\MKreal^{n}\)):\[
x\cdot y=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}:=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+\ldots+x_{n}\cdot y_{n}
\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );
lyxscale 50
איור 2: העבודה היא המכפלה הסקלרית של וקטור הכוח בווקטור ההעתק